Toplamsallık Teoremi (Süper Pozisyon)

Bu teorem, devrede birden fazla kaynak bulunduğunda kullanılabilir. Teoreme göre devre her defasında tek kaynaklı alt devrelere dönüştürülür ve çözüm yapılır. Diğer kaynaklar devre dışı bırakılır. Herhangi bir elemana ilişkin akım veya gerilim hesaplanırken, herbir kaynağın yaptığı etki, işaretleri göz önüne alınarak toplanır. Bu teoremin sağladğı en büyük kolaylık her defasında tek kaynaklı bir devre çözmektir.

Bir Örnek Çözelim:

A-B uçları arasındaki akım değerini ve yönünü bulalım.

İlk olarak devremizde sadece 50V luk kaynağı bırakıyoruz ve diğer kaynakları devre dışı bırakıyoruz. Devremiz şu hali alıyor:

Bu devremizi çözdüğümüzde I1 = 1,66 A buluruz.

Daha sonra devremizde sadece 1A değerindeki kaynağı bırakalım ve diğer kaynakları devre dışı bırakalım. Devremiz şimdi şu hale geliyor:

Bu devremizi çözdüğümüzde I2 = 0,33 A buluruz.

Ardından devremizde sadece 20V luk kaynağı bırakıyoruz ve diğer kaynakları devre dışı bırakıyoruz. Devremiz şu hali alıyor:

Bu devremizi çözdüğümüzde I3 = -1,33 A buluruz. (-) işaretin anlamı gösterdiğimiz yönün tersi yönünde akım aktığıdır.

Son olarak devremizde sadece 2A lik kaynağı bırakıyoruz ve diğer kaynakları devre dışı bırakıyoruz. Devremiz şu hali alıyor:

Bu devremizi çözdüğümüzde I4 = 1,33 A buluruz.

En son olarak bulduğumuz bu akım değerlerini topluy0ruz:

I = I1 + I2 + I3 + I4

I = 1,66 + 0,33 - 1,33 + 1,33

I = 1,99 A değerini buluruz.

Aslında sonuç 2A çıkacaktır fakat küsüratları tam olarak hesaba katmadığımız için çok küçük bir fark oluştu.

Ornekte verilen devre, Multisim 10 yazilimi ustunde tasarlandi, ve A-B arasindaki akimin 2A oldugu, asagida goruldugu sekilde bulundu.

Tüm kaynakları devre dışı edip, A-B uçları arasındaki direncide devreden çıkartıp, A-B uçları arasındaki toplam dirençte bulunarak bu devre istenilirse eş değer gerilim veya eş değer akım devresine dönüştürülebilir.

Theve Teoremi

Devre çözümünde kolaylık sağlayan bu teoremle iki nokta arasındaki karışık devre, çok basit olan eş değer gerilim devresine dönüştürülür.

Et: Yuk direncini (R) devreden cikarttiniz, ve A-B arasindan hic akim akmiyor. Bu durumda, A-B arasinda olceceginiz gerilim degeri Et olacaktir.

Rt: Yuk direncini (R) devreden cikartiniz, ve devredeki kaynaklari devre dışı ettiniz (Boylece kaynaklarin direnclerini gormezden gelmis oluyoruz). Bu durumda A-B arasinda olculen direnc Rt olacaktir.

Not: Kanyaklar devre dışı edilirken, gerilim kaynakları kısa devre ile akım kaynakları açık devre ile yer değiştirilir.

Size bir devre verildi, ve ustunde iki nokta secilmis (A ve B). Bu iki nokta arasinda bir direnc var, ve devrenin gerisi cok karisik durumda. Theve teoremi ile bu karmasik kismi, bir gerilim kaynagi, bir de direnc kullanarak ifade etmeye calisiyoruz.

Örnek Çözelim

Aşağıda görüldüğü gibi bir devremiz var. A ve B noktalari verilmis, ve arasinda 5Ω yuk direnci (R) bulunuyor.

Yukarida belirttigimiz gibi, basitlestirilmis devredeki Rt yi bulabilmek icin, yuk direncini devreden cikartiyoruz, ve kaynaklari devre disi ediyoruz. Sonuçta aşağıdaki gibi devre karşımıza çıkıyor: 

Devrenin sol tarafindaki iki direnc birbirine paralel. Bu durumda sol tarafin direnci:

Toplam direnc (Rt):

 

Sonuçta Rt değeri 10Ω bulunuyor.

Simdi, A-B noktalari arasinda gorulen gerilim, Et yi bulalim.

Ustteki devrede, her bir kol icin, akim degerleri gosterildi. Belli olmayanlar icin I1, I2, I3 isimleri verildi. 1A ve 2A disindaki akimlarin gosterilen yonleri onemli degil. Yanlis yonde olanlarin isareti, islemler sirasinda negative cikacak.

Duruma gore degisebilir ama, bu devrede ilk olarak I3 akiminin degerini bularak, ortadaki 10Ω direncinin ustune dusen gerilimi hesaplayacagiz. Sagdaki 5Ω direncinin ustune dusen akim belli oldugu icin, onun ustune dusen gerilimin 10V oldugu acikca goruluyor. Bu sayede, A-B noktalari arasindaki gerilim, Et hesaplanmis olacak.

Cikan akimla, giren akim birbirine esit olacagindan, asagidaki basit esitlikleri yazabiliyoruz.

I2 = I1 + 1A    [1]

I3 = I2 + 2A    [2]

Diger bir bilgi elimizde var, o da paralel kollarin ustune dusen gerilimler birbirine esit olacaktir.

En soldaki kol ile, ortadaki 10Ω direnci birbirine paralel. Buradan da asagidaki esitligi yazabiliriz.

50V - 10Ω x I1 = 10Ω x I3     [3]

(Not: 50V ile 10Ω ayni kolda ve direnc harcama yapiyor. O yuzden degeri eksi.)

Bu esitlikte I1 ile I3 arasinda bir baginti bulundu. Ayrica, [1] ve [2] deki esitlikleri kullanarak, I1 ile I3 arasinda da bir baginti kurabiliriz.

I3 = (I1 + 1A) + 2A

I3 = I1 + 3A       [4]

Simdi [3] ve [4] esitliklerini kullanarak, bir deger bulmaya calisalim.

10 x I3 = 10 x I1 + 30     [4. esitlikten]

10 x I3 = -10 x I1 + 50     [3. esitlikten]

20 x I1 = 20

I1 = 1A olarak bulunur.

Bu noktada, esitlik [4] ile, I3 = 4A bulunur. Bu da bize, ortadaki direncin ustune 40V dustugunu gosterecek.

Simdi ustteki devreye baktigimiz, A-B noktalari arasinda uc gerilim degeri gorunuyor. Ayni yonde olan 40V ve 10V, ve ters yonde olan 20V. Buradan, bu dokumanin en tepesindeki Et nin yonune uygun olarak islem yapilirsa,

Et = 40V + 10V - 20V = 30V

Sonuçta devre A-B uçları arasındaki gerilim 30 V bulunuyor, ve devre asagidaki sekilde gosterilebilir.

Norton Teoremi

Devre çözümünde kolaylık sağlayan bu teoremle iki nokta arasındaki karışık devre, çok basit olan eş değer akım devresine dönüştürülür.

In: R direnci devreden çıkartılıp, boşta kalan A-B uçları kısa devre yapılır. Bu kısa devreden geçen akım değeridir.

Rn: Yük direnci devreden çıkartılıp, devredeki kaynaklar devre dışı edilir. Bu durumda yükün uçları arasından ölçülen eş değer direnç değeridir.

Not: Kanyaklar devre dışı edilirken, gerilim kaynakları kısa devre ile akım kaynakları açık devre ile yer değiştirilir.

Örnek Çözelim

Aşağıda görüldüğü gibi bir devremiz var. A-B uçları arasını yükümüz kabul edip norton teoremiyle bu devremizi çözelim.

Rt'yi hesaplayabilmek için tüm kaynaklarımızı devre dışı ediyoruz. Sonuçta aşağıdaki gibi devre karşımıza çıkıyor:

Sonuçta Rt değeri 10 ohm bulunuyor.

Ardından yük direnci devreden çıkartılır ve iki ucu arasındaki akım değeri hesaplanır. Sonuçta devre In = 3A ve A-B uçları arasındaki akım 2A bulunur.

Kaynak Dönüşümü İle Devre Çözümü

Bu yöntemi kullarak devredeki herhangi bir elemana ilişkin akım veya gerilim hesaplanırken, theve ve norton eşdeğer devreleri adım adım birbirine dönüştürülür. Bazı durumlarda bu yöntemle bu yöntemle istenilen sonuca tam olarak ulaşılamayabilir. Fakat oluşan son halde bile devre oldukça basit hale gelmiş olur.

Bir örnek ile nasıl olduğunu göstermeye çalışacağım:

Bize verilen çözülmesi gereken devremiz 1 numaralı devre oluyor. Devremize baktığımızda sarı ile gösterilen alanı norton eşdeğer devresine çevirebileceğimizi görüyoruz. Ve 1 numaralı devredeki sarı bölümü, 2 numaralı devredeki sarı alana çeviriyoruz.

Bu işlemlerde sonra 2. devremizde 2 tane birbirine paralel direnç oluşuyor. Bu iki direncin eş değeri alındığında 2 ohm çıkıyor ve bu durumda 2. devredeki yeşil alanı, 3. devremizdeki yeşil alana çevirmiş oluyoruz.

3. devremizdeki yeşil alan norton eşdeğer devresi oluyor. Biz bunu theve eşdeğer devresine çeviriyoruz ve 4. devremizdeki yeşil alana çevirmiş oluyoruz.

En son birbirine ters seri iki gerilim kaynağı ile bir direnç oluşuyor. Turuncu bölgede olan bu elemanlar da en son çözüldüğünde 5. devredeki gibi 20 V gerilim üreten bir gerilim kaynağı ile bir dirence sahip son bir devre oluşmuş oluyor.

Bu son devreye bakarak devremizden;

20 / 2 = 10 A akım aktığını hesaplayabiliyoruz.

Örnek Çözelim

10 beygir gücündeki bir elektrik motoru şebekeden 50 metre uzakta çalıştırılacaktır. Motorun verimi %87'dir. Hattaki gerilim düşümünün %1,5'ten büyük olmaması için hattın kesitini hesaplayınız.

Not: 1 Beygir Gücü = 736 Watt

Not: İletkenimiz bakırdır.

Şebeke dendiğine göre hat başı gerilimimiz 220 Volttur.

1,5 = (Uh / U1) * 100

Uh = U1 - U2 = 220 - U2

Buradan U2 = 216,7 V çıkar. Bu motorumuza ulaşan gerilim miktarı.

Motorumuzun gücü 10 beygir yani 7360 W. Fakat bu değer, motora verilenin %87 sine karşılık geliyor. Bu durumda motorumuza verilen güç;

(P * 87) / 100 = 7360

P = 8460 W yapar.

Motorumuza 216,7 V ulaşıyordu. Motorumuza 8460 W güç verebilmek için;

8460 = 216,7 x I

I = 39 A akım vermemiz gereklidir. Yani hattımızdan 39 A akıyormuş.

Hattımızda Düşen Gerilim = Hat Direnci * Hat Akımı

Buradan;

3,3 = R * 39

R = 84,6 x 10^-3 ohm yapar.

Bu direnç;

R = 2L / (H * A) ile hesaplanırsa;

84,6 x 10^-3 = 100 / (56 * A)

Buradan iletkenimizin kesit alanını;

A = 21,3 mm^2 buluruz.

Elektrik Enerjisinin Isıya Dönüşümü

Direnci olan bir maddenin gerilimi U, akımı I ise t süresinde;

E = U x I x t

kadar elektrik enerjisini ısıya dönüştürecektir. Isı enerjisi için kalori (cal) kullanıldığından şu dönüşümden yararlanılır;

1 cal = 4,187 joule

Bir örnek çözelim:

50 Lt suyu 12 C 'den 85 C'ye ısıtmak için gerekli elektrik enerjisini hesaplayınız. ( c = 1 kcal / kg C )

Burada fizikte öğrendiğimiz;

Q = m x c x (ts - ti)

formülünü kullanacağız.

m = 50 Lt

c = 1 kcal / kg C

ts = 85 C (son sıcaklık)

ti = 12 C (ilk sıcaklık)

Yerlerine koyduğumuzda;

50 x 1 x (85 - 12) = 3650 kcal

değerini buluruz. Bu değer, suya verilmesi gereken ısı miktarıdır. Bu değerin joule karşılığı;

3650 x 4,187 = 15282, 52 kjoule yapar.

Yani 15282, 52 x 10^3 joule enerjisine ihtiyaç vardır.

Örnek Çözelim

1 Km uzunluğundaki;

a) Bakır iletkenin,

b) Bakır hattın direncini hesaplayınız. (Kesit: 70 mm², 20^oC)

Hattın boyu iletkenin boyunun 2 katıdır. Evinize bir (+) bir de (-) iletken gelir. İkisine birden hat denir.

a)

H = 56

ℓ = 1 Km = 1000 m

A = 70 mm²

R = 1000 / (56 * 70) = 0,2551 Ω

b)

2 * R = 0,51 Ω

Örnek Çözelim

Buraya kadar öğrendiklerimizle bir örnek çözebiliriz artık.

Burada çözeceğimiz örneği bir pil, bir direnç, biraz kablo ve bir ampermetre kullanarak ya da Multisim gibi bir yazılım kullanarak deneyebilirsiniz.

Örnek:

Evet devremizi sol tarafta görüyoruz.

Bağlantılara baktığımızda;

1 adet 12 Volt pil, 1 adet 3 ohm değerinde direnç olduğu görülüyor.

Daha önceden öğrendiğimiz V = I x R formülünü kullanarak devremiz üzerinden geçen akım değerini hesaplayalım:

12 = I x 3

Buradan I = 4A çıkacaktır. Bu devreyi Multisim programı ile gerçekleştirdiğimizde şöyle görünecektir:

Resimde gösterilen U1 adlı bileşen Ampermetredir ve devreye seri olarak bağlanır. Ampermetre devreden geçen akım miktarını ölçer.

Görüldüğü gibi ampermetre de 4A değerini göstermektedir.

Kendiniz örnekleri çoğaltarak pratik yapabilirsiniz.