Kondansatörler - Bölüm 3

Bu bölümde kondansatörlerin seri bağlanmasını anlatacağım. Aşağıda görüldüğü gibi bir devremiz olduğunu düşünün:

Devremizde değeri U olan bir gerilim kaynağı ve 2 tane kondansatör bulunmaktadır. Kondansatörlerin kapasiteleri C1 ve C2 şeklinde belirtilmiştir. Biz bu iki kondansatörün eş değerini hesaplayacağız.

Dirençler bölümünden hatırlayacağınız üzere seri devrelerde toplam gerilim, yükler üzerinde dağıtılıyordu:

U = U1 + U2

Kondansatörlerin üzerlerinde biriken yük miktarını ise şöyle belirleniyor:

Resimde gördüğünüz gibi 2. kondansatörümüzün sağ tarafında gerilim kaynağından gelen 4 tane elektron (-) toplanmış. Bu 4 elektron 2. kondansatörün sol tarafındaki 4 tane (-) yükü elektrik alandan dolayı iterler. Bu durumda 4 tane (+) yük oluşmuş olur. Bu itilen 4 (-) yük ise 1. kondansatörün sağ tarafında toplanır. 1. kondansatördeki bu 4 (-) yük ise 1. kondansatörün sol tarafındaki 4 (-) yükü iterler. Bu 4 (-) yük gerilim kaynağının (+) kutbuna gider. Sonuçta 1. kondansatörün sol tarafında da 4 (+) yük oluşmuş olur. Görüldüğü gibi iki kondansatörün yükleri eşit oldu. Buradan şu eşitliği yazıyoruz.

Q = Q1 = Q2

Kondansatörler - Bölüm 1'de anlattığımız;

Q = C x U

formülüne göre ise şöyle bir eşitlik oluşuyor:

(Q / C) = (Q / C1) + (Q / C2)

Q'ları sadeleştirdiğimizde ise sonuçta şöyle bir genel denklem oluşuyor:

Kondansatörler - Bölüm 2

Kondansatörler, bir gerilim kaynağı yardımıyla yüklendikten sonra gerilim kaynağından ayrıldıktan sonra, aynı gerilim kaynağı gibi bir ucu (+), diğer ucu (-) ile yüklenmiştir. Bu haliyle bir kondansatörü bir yüke (örneğin bir ampul) bağladığımızda yük üzerinden bir akım akacaktır ve kondansatör bir iş yapmıştır demektir.

Bir şey iş yapıyorsa, güçleri var demektir. Ve bir şeye ne kadar süre gücünüz yetiyorsa o kadar enerjiniz var demektir. Demek ki kondansatöründe enerjisi vardır ve kondansatörler enerji depolayan elemanlardır diyebiliriz.

Kondansatörün sahip olduğu bu enerjiyi ise şöyle hesaplayabiliriz:

Enerjinin hesaplanması U.I.t şeklinde idi. Fakat kondansatörümüz bir yüke bağlandığında U ve I değerleri zamanla değişecektir. Bu nedenle en küçük zaman aralıklarında U.I çarpım değerlerini toplamamız gerekir. Bu nedenle enerji için şöyle bir integral denklemi oluşturuyoruz:

Bölüm 1'de şöyle bir eşitlik görmüştük: U x C = I x t

Bu formüle dayanarak integralde;

I x dt = C x du

şeklinde bir değişiklik yapıyoruz ve şöyle bir integral oluşuyor:

Kondansatörün sığa değeri olan C sabit bir değer olduğu için integralin dışına alıyoruz:

Sınırlara göre integralimizi açtığımızda denklem şu hali alıyor:

Ve son işlemlerimizi yaptığımızda, kondansatörümüzün enerji denklemini şu şekilde bulmuş oluyoruz:

Kondansatörler - Bölüm 1

Kondansatörler, karşılıklı iki metal yüzey ve bunların arasındaki yalıtkan(dielektrik) yapıdan oluşur. Dielektrik malzeme olarak her türlü katı, sıvı, gaz kullanılabilir. Genellikle iki ince metal şerit ve bunların arasına kağıt konularak bunların sarılması yöntemiyle kondansatör elde edilir.

Kondansatörün gösterimi:

Kondansatörün çalışma mantığı ile ilgili bazı konulara değinelim:

Bir gerilim kaynağına iletkenleri bağlandığımızda, gerilim kaynağının (-) kutbundan elektronların ilerleyip sonunda (+) kutba geldiğini biliyoruz. Gerilim kaynağı ve kondansatörü bağladğımızda şu şekil bir devre oluşur:

(-) kutuptan gelen elektron mecburen kondansatöre kadar gerilim kaynağının zorlaması ile gelirler. Fakat kondansatördeki iki metal arası yalıtkan olduğundan dolayı buradan geçemezler. Elektrostatik gereği, karşı taraftaki elektronlar, alt taraftaki elektronlar tarafından itilirler. Böyle olunca üstteki metal levhada (+) yüklü atomlar oluşur. Bu durumda kondansatörün gerilim kaynağına (+) kısmından bağlanmış tarafı (+), diğer tarafı (-) yüklenmiş oldu. Pillerimiz de aynı bu biçimdedir. Bir uçları (+) diğer uçları (-) yüklüdür ve elektronlarını devremize gönderirler.

Şimdi şöyle bir örnek vereyim: Eş değer iki pilden birinin (+) ucunu diğerinin (+), birinin (-) ucunu diğerinin (-) ucuna bağlarsak, güçleri eşit olduğundan dolayı birbirlerine elektron gönderemezler ve akış olmaz.

Şimdi kondansatöründe (+) ve (-) yüklerle yüklendiğini ve bunun gerilim kaynağına benzediğini söyledik. Aynen örneğimizde olduğu gibi, gerilim kaynağı elektronları kondansatöre gönderdikçe, kondansatörün değeri daha da artacak ve arttıkça pilin elektronları kondansatöre göndermesi gittikçe daha zorlaşacak. Artık öyle bir an olacak ki pil 1 elektronu dahi kondansatöre gönderemeyecek. İşte bu anda artık kondansatörümüz dolmuş demektir ve kondansatörün boş bir devreye bağlandığında dışarı verebileceği gerilim değeri U ya eşit olmuştur.

Fakat kondansatörlerin üzerlerinde birikebilecek belli bir elektron sayısı ve bu sayıya bağlı olarak taşıyabilecekleri maksimum gerilim değeri vardır. Siz kondansatörü bu gerilimde daha fazla gerilime maruz bırakırsanız kondansatörünüz patlayacaktır.

Bir örnek daha vereyim: Bir futbol topunuz var ve içinde hiç hava yok. Pompa ile şişirmeye başladınız. İlk başlarda çok kolay biçimde şişiriyordunuz. Fakat topun içinde biraz hava biriktiğinde artık siz topa hava basmaya çalışıyorken, topun içindeki havada geri ittirerek sizi zorlayacaktır ve gittikçe her seferinde topa daha az hava girmeye başlayacaktır ve artık öyle bir an gelirki topa hiç hava girmez olur ve top alabileceği maksimum havaya sahiptir. Siz bir şekilde bu topa biraz daha fazla hava basarsanız topunuz patlayacaktır. Aynı kondansatörünüze olduğu gibi.

Tüm bunları birleştirerek şöyle bir eşitlik oluşturuyoruz:

Q = C x U = I x t

Q: Yük miktarı. Kondansatörünüzde biriken elektron sayısına göre değişir.

C: Kondansatörün kapasitesi. Maksimum değer diye bahsettiğimiz değer.

U: Kondansatörün bağlı olduğu gerilim değeri.

I: Kondansatörün bağlı olduğu devrenin sağladığı akım değeri.

t: Süre

Q değeri coulomb türündendir. 1 C (coulomb) = 6,02 x 10^23 elektron eder. Yani kondansatörde 6,02 x 10^23 tane elektron biriktiğinde 1 C yük birikmiş demektir.

C değeri farad türündendir. Genellikle as katları olan pikofarad, mikrofarad gibi değerle verilir.

U değeri volt türündendir.

I değeri amper türündendir.

t değeri saniye türündendir.

Örneğin Q = I x t eşitliğini kullanarak kondansatörümüze sabit bir I akım değeri verdiğimizde t süresinde kondansatörde kaç coulomb luk yük birikeceğini hesaplayabiliriz.

Kondansantörler - Bölüm 2'den konumuz devam edecektir.

Toplamsallık Teoremi (Süper Pozisyon)

Bu teorem, devrede birden fazla kaynak bulunduğunda kullanılabilir. Teoreme göre devre her defasında tek kaynaklı alt devrelere dönüştürülür ve çözüm yapılır. Diğer kaynaklar devre dışı bırakılır. Herhangi bir elemana ilişkin akım veya gerilim hesaplanırken, herbir kaynağın yaptığı etki, işaretleri göz önüne alınarak toplanır. Bu teoremin sağladğı en büyük kolaylık her defasında tek kaynaklı bir devre çözmektir.

Bir Örnek Çözelim:

A-B uçları arasındaki akım değerini ve yönünü bulalım.

İlk olarak devremizde sadece 50V luk kaynağı bırakıyoruz ve diğer kaynakları devre dışı bırakıyoruz. Devremiz şu hali alıyor:

Bu devremizi çözdüğümüzde I1 = 1,66 A buluruz.

Daha sonra devremizde sadece 1A değerindeki kaynağı bırakalım ve diğer kaynakları devre dışı bırakalım. Devremiz şimdi şu hale geliyor:

Bu devremizi çözdüğümüzde I2 = 0,33 A buluruz.

Ardından devremizde sadece 20V luk kaynağı bırakıyoruz ve diğer kaynakları devre dışı bırakıyoruz. Devremiz şu hali alıyor:

Bu devremizi çözdüğümüzde I3 = -1,33 A buluruz. (-) işaretin anlamı gösterdiğimiz yönün tersi yönünde akım aktığıdır.

Son olarak devremizde sadece 2A lik kaynağı bırakıyoruz ve diğer kaynakları devre dışı bırakıyoruz. Devremiz şu hali alıyor:

Bu devremizi çözdüğümüzde I4 = 1,33 A buluruz.

En son olarak bulduğumuz bu akım değerlerini topluy0ruz:

I = I1 + I2 + I3 + I4

I = 1,66 + 0,33 - 1,33 + 1,33

I = 1,99 A değerini buluruz.

Aslında sonuç 2A çıkacaktır fakat küsüratları tam olarak hesaba katmadığımız için çok küçük bir fark oluştu.

Ornekte verilen devre, Multisim 10 yazilimi ustunde tasarlandi, ve A-B arasindaki akimin 2A oldugu, asagida goruldugu sekilde bulundu.

Tüm kaynakları devre dışı edip, A-B uçları arasındaki direncide devreden çıkartıp, A-B uçları arasındaki toplam dirençte bulunarak bu devre istenilirse eş değer gerilim veya eş değer akım devresine dönüştürülebilir.

Theve Teoremi

Devre çözümünde kolaylık sağlayan bu teoremle iki nokta arasındaki karışık devre, çok basit olan eş değer gerilim devresine dönüştürülür.

Et: Yuk direncini (R) devreden cikarttiniz, ve A-B arasindan hic akim akmiyor. Bu durumda, A-B arasinda olceceginiz gerilim degeri Et olacaktir.

Rt: Yuk direncini (R) devreden cikartiniz, ve devredeki kaynaklari devre dışı ettiniz (Boylece kaynaklarin direnclerini gormezden gelmis oluyoruz). Bu durumda A-B arasinda olculen direnc Rt olacaktir.

Not: Kanyaklar devre dışı edilirken, gerilim kaynakları kısa devre ile akım kaynakları açık devre ile yer değiştirilir.

Size bir devre verildi, ve ustunde iki nokta secilmis (A ve B). Bu iki nokta arasinda bir direnc var, ve devrenin gerisi cok karisik durumda. Theve teoremi ile bu karmasik kismi, bir gerilim kaynagi, bir de direnc kullanarak ifade etmeye calisiyoruz.

Örnek Çözelim

Aşağıda görüldüğü gibi bir devremiz var. A ve B noktalari verilmis, ve arasinda 5Ω yuk direnci (R) bulunuyor.

Yukarida belirttigimiz gibi, basitlestirilmis devredeki Rt yi bulabilmek icin, yuk direncini devreden cikartiyoruz, ve kaynaklari devre disi ediyoruz. Sonuçta aşağıdaki gibi devre karşımıza çıkıyor: 

Devrenin sol tarafindaki iki direnc birbirine paralel. Bu durumda sol tarafin direnci:

Toplam direnc (Rt):

 

Sonuçta Rt değeri 10Ω bulunuyor.

Simdi, A-B noktalari arasinda gorulen gerilim, Et yi bulalim.

Ustteki devrede, her bir kol icin, akim degerleri gosterildi. Belli olmayanlar icin I1, I2, I3 isimleri verildi. 1A ve 2A disindaki akimlarin gosterilen yonleri onemli degil. Yanlis yonde olanlarin isareti, islemler sirasinda negative cikacak.

Duruma gore degisebilir ama, bu devrede ilk olarak I3 akiminin degerini bularak, ortadaki 10Ω direncinin ustune dusen gerilimi hesaplayacagiz. Sagdaki 5Ω direncinin ustune dusen akim belli oldugu icin, onun ustune dusen gerilimin 10V oldugu acikca goruluyor. Bu sayede, A-B noktalari arasindaki gerilim, Et hesaplanmis olacak.

Cikan akimla, giren akim birbirine esit olacagindan, asagidaki basit esitlikleri yazabiliyoruz.

I2 = I1 + 1A    [1]

I3 = I2 + 2A    [2]

Diger bir bilgi elimizde var, o da paralel kollarin ustune dusen gerilimler birbirine esit olacaktir.

En soldaki kol ile, ortadaki 10Ω direnci birbirine paralel. Buradan da asagidaki esitligi yazabiliriz.

50V - 10Ω x I1 = 10Ω x I3     [3]

(Not: 50V ile 10Ω ayni kolda ve direnc harcama yapiyor. O yuzden degeri eksi.)

Bu esitlikte I1 ile I3 arasinda bir baginti bulundu. Ayrica, [1] ve [2] deki esitlikleri kullanarak, I1 ile I3 arasinda da bir baginti kurabiliriz.

I3 = (I1 + 1A) + 2A

I3 = I1 + 3A       [4]

Simdi [3] ve [4] esitliklerini kullanarak, bir deger bulmaya calisalim.

10 x I3 = 10 x I1 + 30     [4. esitlikten]

10 x I3 = -10 x I1 + 50     [3. esitlikten]

20 x I1 = 20

I1 = 1A olarak bulunur.

Bu noktada, esitlik [4] ile, I3 = 4A bulunur. Bu da bize, ortadaki direncin ustune 40V dustugunu gosterecek.

Simdi ustteki devreye baktigimiz, A-B noktalari arasinda uc gerilim degeri gorunuyor. Ayni yonde olan 40V ve 10V, ve ters yonde olan 20V. Buradan, bu dokumanin en tepesindeki Et nin yonune uygun olarak islem yapilirsa,

Et = 40V + 10V - 20V = 30V

Sonuçta devre A-B uçları arasındaki gerilim 30 V bulunuyor, ve devre asagidaki sekilde gosterilebilir.

Norton Teoremi

Devre çözümünde kolaylık sağlayan bu teoremle iki nokta arasındaki karışık devre, çok basit olan eş değer akım devresine dönüştürülür.

In: R direnci devreden çıkartılıp, boşta kalan A-B uçları kısa devre yapılır. Bu kısa devreden geçen akım değeridir.

Rn: Yük direnci devreden çıkartılıp, devredeki kaynaklar devre dışı edilir. Bu durumda yükün uçları arasından ölçülen eş değer direnç değeridir.

Not: Kanyaklar devre dışı edilirken, gerilim kaynakları kısa devre ile akım kaynakları açık devre ile yer değiştirilir.

Örnek Çözelim

Aşağıda görüldüğü gibi bir devremiz var. A-B uçları arasını yükümüz kabul edip norton teoremiyle bu devremizi çözelim.

Rt'yi hesaplayabilmek için tüm kaynaklarımızı devre dışı ediyoruz. Sonuçta aşağıdaki gibi devre karşımıza çıkıyor:

Sonuçta Rt değeri 10 ohm bulunuyor.

Ardından yük direnci devreden çıkartılır ve iki ucu arasındaki akım değeri hesaplanır. Sonuçta devre In = 3A ve A-B uçları arasındaki akım 2A bulunur.

Kaynak Dönüşümü İle Devre Çözümü

Bu yöntemi kullarak devredeki herhangi bir elemana ilişkin akım veya gerilim hesaplanırken, theve ve norton eşdeğer devreleri adım adım birbirine dönüştürülür. Bazı durumlarda bu yöntemle bu yöntemle istenilen sonuca tam olarak ulaşılamayabilir. Fakat oluşan son halde bile devre oldukça basit hale gelmiş olur.

Bir örnek ile nasıl olduğunu göstermeye çalışacağım:

Bize verilen çözülmesi gereken devremiz 1 numaralı devre oluyor. Devremize baktığımızda sarı ile gösterilen alanı norton eşdeğer devresine çevirebileceğimizi görüyoruz. Ve 1 numaralı devredeki sarı bölümü, 2 numaralı devredeki sarı alana çeviriyoruz.

Bu işlemlerde sonra 2. devremizde 2 tane birbirine paralel direnç oluşuyor. Bu iki direncin eş değeri alındığında 2 ohm çıkıyor ve bu durumda 2. devredeki yeşil alanı, 3. devremizdeki yeşil alana çevirmiş oluyoruz.

3. devremizdeki yeşil alan norton eşdeğer devresi oluyor. Biz bunu theve eşdeğer devresine çeviriyoruz ve 4. devremizdeki yeşil alana çevirmiş oluyoruz.

En son birbirine ters seri iki gerilim kaynağı ile bir direnç oluşuyor. Turuncu bölgede olan bu elemanlar da en son çözüldüğünde 5. devredeki gibi 20 V gerilim üreten bir gerilim kaynağı ile bir dirence sahip son bir devre oluşmuş oluyor.

Bu son devreye bakarak devremizden;

20 / 2 = 10 A akım aktığını hesaplayabiliyoruz.

Theve ve Norton Eş Değer Devreleri

Theve Eş Değeri: Eş değer gerilim devresi

Norton Eş Değeri: Eş değer akım devresi

Akım Kaynağı

Daha önce gerilim kaynağından bahsetmiştik. Örneğin pil bir gerilim kaynağıdır. Aynı şekilde akım kaynağı da bulunmaktadır. Gerilim kaynağı bağlı devrenizde dirence göre devreden akan akım değeri değişmekteydi. Fakat akım kaynağı devrenize sabit bir akım sağlanmaktadır. Akım kaynakları akımlarını devreye kendi bağlandıkları yönde kabul ettirirler. Yani ters yönde akım akışı olmaz. Fazla zorlanırsa akım kaynağı yanabilir.

Eş Değer Devreler

Bir iç direnci bulunan gerilim kaynağı ile kendisine paralel bağlı iç direnci olan bir akım kaynakları birbirlerine eş değer olarak kullanılabilirler.

Şekilde gördüğünüz Rt ve Rn dirençleri iç direnç, Et gerilim kaynağının EMK kuvveti ve In değeri akım kaynağının akım değeridir. (N = Norton; T = Theve)

Gerilim kaynağı bulunan bir devrenizde Et ve Rt değerlerini biliyorsanız;

In = Et / Rt

Rn =Rt

şeklinde çevrim uygulanır.

Akım kaynağı bulunan devrenizde In ve Rn değerlerini biliyorsanız;

Et = In x Rn

Rt = Rn

şeklinde çevrim uygulanır.

Gerilim Kaynaklarının Seri ve Paralel Bağlanması

Seri Bağlama

Gerilim kaynaklarının birbirlerine seri bağlanmasındaki amaç daha yüksek gerilim elde edebilmektir.

E1, E2, E3 gerilim değerleri pillerimizin EMK değerleridir. Ri1, Ri2, Ri3 değerleri pillerimizin iç direnç değerleridir. Bu bilgileri kullanarak şu eşitlikleri elde edebiliriz:

Etoplam = (E1 + E2 + E3) - Ix(Ri1 + Ri2 + Ri3)

Paralel Bağlama

Gerilim kaynaklarının birbirlerine paralel bağlanmasındaki amaç daha uzun süreli gerilim elde etmektir.

Paralel bağlama için şu şartların sağlaması gerekir:

1. Tüm kaynakların EMK değerleri eşit olmalıdır.
2. Tüm kaynakların iç dirençleri eşit olmalıdır.

Ek = E1 = E2 = E3

Rik = Ri1 = Ri2 = Ri3

Ik = I1 = I2 = I3

Bu durumda devreye sağlanan toplam gerilim;

Etoplam = E1 - (I1 x Ri1) = E2 - (I2 x Ri2) = E3 - (I3 x Ri3)

Toplam akım ise;

Itoplam = I1 + I2 + I3

olacaktır. Buna göre paralel bağlamanın daha fazla akım verebilen gerilim elde etmek olduğuda anlaşılabilir.

Not: Ters yönde bir gerilim kaynağı bağlandığında, işlemleri de ters işaret alınarak yapılır.